- 苏海燕;陶宝艳;
<正>动点的最值问题是初中平面几何中的一类重要问题,经常在压轴题中出现,中考中也常有涉及.这类问题中往往动点比较多,图形变化复杂,难度较大,解决这类问题的核心要点就是“以不变应万变”.1问题与分析例1 如图1,已知四边形ABCD为矩形,对角线AC,BD相交于O,AD=AO.点E,F为矩形边上的两个动点,且∠EOF=60°.当点E,F同时在AB边上运动时,将△OEF沿OE所在直线翻折至△OEP,取线段CB的中点Q,连接PQ,若AD=2a(a>0),则当PQ最短时,求PF之长.
2025年12期 No.756 8-10页 [查看摘要][在线阅读][下载 720K] [下载次数:11 ] |[网刊下载次数:0 ] |[引用频次:0 ] |[阅读次数:11 ] - 陈莉莉;卢金正;
<正>《2022版义务教育数学课程标准》对尺规作图明确指出:经历尺规作图的过程,增强动手能力,能想象出通过尺规作图操作形成的图形,发展几何直观.因此尺规作图题往往需要“倒着想、试着干、回头看”,展现我们逆用知识解决问题的能力.下面以2016年玄武区一模拟题的第(3)问为例,从不同维度探究思考路径.
2025年12期 No.756 11-13页 [查看摘要][在线阅读][下载 693K] [下载次数:25 ] |[网刊下载次数:0 ] |[引用频次:0 ] |[阅读次数:8 ] - 雷桥;何勇;
<正>正方形的翻折问题是几何学习中常见问题,它的本质为图形的轴对称变换.我们发现,与正方形翻折有关的最值问题因涉及的图形变化多,难度较大.本文主要探究正方形翻折后一顶点落在另一条边上的一类最值问题,下面通过三个例题予以说明.例1如图1,正方形ABCD,边长AB=6,点P,Q分别为AB和DC上的点,连接PQ,将四边形APQD沿PQ翻折,点A的对应点为A',点D的对应点为D',且点C在A'D'上,求点A'到BC的距离A'H最大值.
2025年12期 No.756 13-15页 [查看摘要][在线阅读][下载 680K] [下载次数:31 ] |[网刊下载次数:0 ] |[引用频次:0 ] |[阅读次数:16 ] - 张楠;刘鑫焱;
<正>2025年1月海淀区八年级上期末数学考试的24题是一道分式相关的新定义问题,题目具有开放性,解法很多.这些解法是怎样想到的?不同的解法背后是否有相同的解题策略?对这个新定义问题还可以有哪些延伸思考?接下来,我将带着同学们一起探寻这几个问题的答案.1原题呈现题目我们知道,“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形.类似地,“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形,我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”.
2025年12期 No.756 16-20页 [查看摘要][在线阅读][下载 613K] [下载次数:13 ] |[网刊下载次数:0 ] |[引用频次:0 ] |[阅读次数:11 ]
- 常文武;
<正>在日常生活中,只要留意,时常会发现一些有趣的数学问题.图1所示的圆是一片普通的圆形馒头纸,也就是蒸馒头时垫在下面的一层油纸,是生活中的常见物品.如果你拿它来随意折个圆内接三角形,就会发现折出圆片的内接三角形的同时,折叠后的三段弧会刚好经过同一个点.更加神奇的是,这个点不是别的,正是三角形的垂心.怎么对这个现象给一个合理的解释呢?数学地看待,这就需要证明:(1)三段圆弧交于一点;(2)该点是三角形的垂心.由于折叠这个动作其实就是沿着折痕所在的直线作一个反射变换,所以我们所见的三段弧其实是圆弧关于弦的反射像,因而不再属于原本圆.基于这个认识,我们也就推知这三段弧的圆心也不再是圆纸片的圆心,
2025年12期 No.756 21-22页 [查看摘要][在线阅读][下载 643K] [下载次数:10 ] |[网刊下载次数:0 ] |[引用频次:0 ] |[阅读次数:6 ] - 钟文体;
<正>同学们可曾发现2024年国庆节的年份、月份、日期所组成的数20241001恰好是一个完全平方数,即20241001=4499~2.因此,从数学的角度看,2024年的国庆节是一个“完美”的国庆节.同学们,你我都是非常幸运的人,因为你我都经历了一次“千载难逢”的“完美”国庆节,下一次“完美”的国庆节要等到一千多年以后.事实上,下一次“完美”国庆节出现在3026年(30261001=5501~2).那么,如何判断哪一年会出现“完美”的国庆节呢?我们将类似20241001,30261001这样的数称为完全平方国庆数.那么,前面的问题相当于:如何找出所有的完全平方国庆数?这当然可以借助电脑程序解决,但我们还是希望能用数学知识解决这一问题.本文将利用一些简单的数论知识严谨地解决这个问题.
2025年12期 No.756 22-24页 [查看摘要][在线阅读][下载 596K] [下载次数:17 ] |[网刊下载次数:0 ] |[引用频次:0 ] |[阅读次数:10 ]
- 张若熙;黄贤明;
<正>刚步入初中数学学习,最令我们头疼的自然是点或线的运动问题,它们常常作为压轴题出现,颇具难度,但也激发起了我的挑战欲.老师在课堂中常说,面对点或线的动态问题,我们需要先化动为静,以某一特殊的位置来替代它们的运动过程,进而引入未知数(一般设时间为t),结合条件或问题来建立相关方程,以此解决问题.在七年级上学期的期末复习阶段,我遇到了一道射线的动态问题,虽然这道题的解决较为容易,但是我在思考与探究中发现了该问题的一般规律,下面我就围绕该题的情境来分享自己的学习心得.
2025年12期 No.756 31-33页 [查看摘要][在线阅读][下载 718K] [下载次数:12 ] |[网刊下载次数:0 ] |[引用频次:0 ] |[阅读次数:15 ] - 陈律如;邱钐钐;
<正>圆的折叠问题融合了丰富的知识点,综合性强且解法多样,是几何三大变换之一——“轴对称变换”的典型应用.然而,面对此类问题时,我们常常因其复杂性而望而却步.黄金分割,被开普勒誉为“几何学中的宝玉”,蕴含着无尽的美感与奥秘.那么,当圆的折叠与黄金分割相遇,又会碰撞出怎样的火花呢?首先,让我们先来了解一下黄金三角形,其有两类,一类是顶角为36°的等腰三角形,
2025年12期 No.756 34-35页 [查看摘要][在线阅读][下载 615K] [下载次数:13 ] |[网刊下载次数:0 ] |[引用频次:0 ] |[阅读次数:8 ]
- 李加禄;
<正>初中阶段的平面几何学习,要求同学们具备几何直观、逻辑推理和运算能力.而指向“联想与构造”的图形建构是解决问题的关键,指向“关联与转化”的知识迁移是破解问题的利器.通过图形的建构产生新的关联,可使分散的条件集中化、隐藏的信息显性化、复杂的问题简单化.本文以2017年北京市中考数学第28题为例,通过剖析图形结构与关联,联想基本图形与基本数学模型,从不同视角探究其解法,形成不同的解题策略,从而提升思维品质和解题素养.1试题呈现(2017年北京中考第28题)如图1,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,P是线段BC上一动点(与点B,C不重合),连接AP,延长BC至点Q,
2025年12期 No.756 36-39页 [查看摘要][在线阅读][下载 760K] [下载次数:24 ] |[网刊下载次数:0 ] |[引用频次:0 ] |[阅读次数:8 ] - 刘啟定;王彭德;
<正>求图形的面积是中考数学的常见题型.要求的阴影部分常为不规则图形,故在求解过程中常需要用割补法,该方法的关键在于将不规则图形分割或补形为可直接使用面积公式的基本图形.下面以2023年山东省潍坊市中考第21题第(2)问为例,通过作辅助线对图形割补,求得图形面积.
2025年12期 No.756 40-42页 [查看摘要][在线阅读][下载 645K] [下载次数:11 ] |[网刊下载次数:0 ] |[引用频次:0 ] |[阅读次数:8 ] - 郑旭常;
<正>1试题呈现(2024·内蒙古赤峰)如图1,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,☉O经过B,C两点,与斜边AB交于点E,连接CO并延长交AB于点M,交☉O于点D,过点E作EF∥CD,交AC于点F.(1)求证:EF是☉O的切线
2025年12期 No.756 43-45页 [查看摘要][在线阅读][下载 639K] [下载次数:7 ] |[网刊下载次数:0 ] |[引用频次:0 ] |[阅读次数:9 ]
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<正>初一年级1.在平面直角坐标系中,我们把横纵坐标都是整数的点称为整点,将某点连续进行若干次平移操作,每次平移1个单位长度,平移方向取决于该点横、纵坐标之和除以4的余数:当余数为0时,向右平移;当余数为1时向上平移;当余数为2时,向左平移;当余数为3时,向下平移.例如点P(2,1)按上述规则连续平移3次:
2025年12期 No.756 46-48页 [查看摘要][在线阅读][下载 610K] [下载次数:8 ] |[网刊下载次数:0 ] |[引用频次:0 ] |[阅读次数:7 ] <正>1奇妙的61小红在玩数字组合游戏,游戏规则是用两个两位数相加得到61,并且还发现了一个奇妙规律:把第一个两位数的十位数字拆分出来,与第二个数组成新的加法式子,结果同样是61.比如45+16=61,4+51+6也等于61.现在有这样一组等式,35+26=61,按照上述规律,3+52+6也等于61.提问:小明想用1,5,4,6这四个数字组成满足这个规律的等式,你能帮他写出所有可能的组合吗?(山东省巨野县永丰办佳和小区9号楼三1503
2025年12期 No.756 50+7+10+15+42+48页 [查看摘要][在线阅读][下载 1649K] [下载次数:6 ] |[网刊下载次数:0 ] |[引用频次:0 ] |[阅读次数:4 ] 下载本期数据